1119. Один из углов треугольника равен 120^{\circ}
. Докажите, что треугольник, образованный основаниями биссектрис данного, — прямоугольный.
Указание. Пусть AE
и BD
— биссектрисы треугольника ABC
и \angle ABC=120^{\circ}
. Тогда BE
— биссектриса угла DBK
, смежного с углом ABD
.
Решение. Пусть AE
, BD
и CM
— биссектрисы треугольника ABC
и \angle ABC=120^{\circ}
. На продолжении стороны AB
за точку B
возьмём точку K
. Поскольку
\angle EBK=180^{\circ}-\angle ABC=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}=\angle DBE,
то BE
— биссектриса угла DBK
, смежного с углом ABD
. Поэтому точка E
равноудалена от прямых AB
и DB
, а так как точка E
лежит на биссектрисе угла BAC
, то она равноудалена от прямых AB
и CD
. Поэтому точка E
равноудалена от сторон угла BDC
. Значит, DE
— биссектриса угла BDC
. Аналогично DM
— биссектриса угла ADB
. Следовательно,
\angle MDE=\frac{1}{2}(\angle ADB+\angle BDC)=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.
Примечание. Верно и обратное: если AE
, BD
и CM
— биссектрисы треугольника ABC
и \angle MDE=90^{\circ}
, то \angle ABC=120^{\circ}
(см. задачу 4116).