11193. Вписанная окружность треугольника ABC
касается сторон BC
, AC
, AB
в точках A_{1}
, B_{1}
, C_{1}
соответственно. Отрезок AA_{1}
вторично пересекает вписанную окружность в точке Q
. Прямая l
параллельна BC
и проходит через вершину A
. Прямые A_{1}C_{1}
и A_{1}B_{1}
пересекают прямую l
в точках P
и R
соответственно. Докажите, что \angle PQR=\angle B_{1}QC_{1}
.
Решение. По теореме об угле между касательной и хордой следует, что \angle BA_{1}Q=\angle A_{1}B_{1}Q
. С другой стороны, \angle BA_{1}A=\angle A_{1}AR
как внутренние накрест лежащие. Поэтому
\angle QAR=\angle BA_{1}A=\angle A_{1}B_{1}Q=180^{\circ}-\angle QB_{1}R,
значит, четырёхугольник ARB_{1}Q
вписанный. Аналогично, четырёхугольник PAQC_{1}
— тоже вписанный, поэтому
\angle PQR=\angle PQA+\angle RQA=\angle PC_{1}A+\angle RB_{1}A=\angle A_{1}C_{1}B+\angle A_{1}B_{1}C.
Поскольку оба слагаемых — углы между касательными и хордами,
\angle PQR=\angle A_{1}QC_{1}+\angle A_{1}QB_{1}=\angle C_{1}QB_{1}.
Что и требовалось доказать.