11194. Из точки M
внутри данного треугольника ABC
опускаются перпендикуляры MA_{1}
, MB_{1}
, MC_{1}
на прямые BC
, CA
и AB
соответственно. Для каких точек M
внутри треугольника ABC
величина \frac{BC}{MA_{1}}+\frac{CA}{MB_{1}}+\frac{AB}{MC_{1}}
принимает наименьшее значение?
Ответ. M
— центр вписанной окружности данного треугольника.
Решение. Обозначим BC=a
, CA=b
, AB=c
, MA_{1}=x
, MB_{1}=y
, MC_{1}=z
. Величина ax+by+cz
постоянна: для любой точки M
внутри данного треугольника она равна 2S
— его удвоенной площади. Пусть f=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}
— интересующая нас величина. Рассмотрим её произведение на постоянную 2S
:
f\cdot2S=\left(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\right)(ax+by+cz)=
=a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+bc\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+ac\left(\frac{z}{x}+\frac{x}{z}\right)~\geqslant
\geqslant a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ac=P^{2},
где P=a+b+c
. Таким образом, неравенство
f=\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\geqslant\frac{P^{2}}{2S}
верно для всех таких x
, y
, z
, что ax+by+cz=2S
, и обращается в равенство при x=y=z
. Следовательно, минимум выражения f
достигается в центре вписанной окружности данного треугольника (именно в этой точке x=y=z
).