11196. Даны две окружности, пересекающиеся в точках P
и Q
. Пусть C
— произвольная точка одной окружностей, отличная от P
и Q
; точки A
и B
— вторые точки пересечения прямых CP
и CQ
с другой окружностью. Найдите геометрическое место центров описанных окружностей треугольников ABC
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры данных окружностей, D
— точка, диаметрально противоположная точке C
, E
— точка, симметричная точке D
относительно O_{2}
(см.рисунок). Тогда, так как DP\perp AC
, а проекцией O_{2}
на AC
является середина отрезка PA
, то AE\perp AC
. Аналогично, EB\perp BC
. Значит, центр O
описанной около четырёхугольника AEBC
окружности является серединой отрезка CE
.
Отрезок O_{1}O_{2}
— средняя линия треугольника CDE
, поэтому \overrightarrow{CO}=\overrightarrow{O_{1}O_{2}}
. Следовательно, искомым ГМТ будет окружность, полученная из той, на которой лежит точка C
, переносом на вектор \overrightarrow{O_{1}O_{2}}
, без точек, соответствующих точкам P
и Q
.
Примечание. Нетрудно доказать, что CO\parallel O_{1}O_{2}\perp PQ
и CO_{1}\parallel OO_{2}\perp AB
, откуда следует другое доказательство равенства \overrightarrow{CO}=\overrightarrow{O_{1}O_{2}}
.
Автор: Заславский А. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2008, № 1, с. 16, М2073; 2008, № 4, с. 17, М2073
Источник: Задачник «Кванта». — 2008, № 1, М2073