11199. Докажите неравенство a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc\lt2
, где a
, b
, c
— длины сторон треугольника периметра 2.
Решение. Заметим, что все стороны такого треугольника меньше 1. Действительно, если одна из сторон, например, a\geqslant1
, то по неравенству треугольника a+b+c\gt a+a=2a\geqslant2
, что противоречит условию.
Значит, (1-a)(1-b)(1-c)\gt1
. Раскрывая скобки и преобразуя левую часть, получим, что
(1-a)(1-b)(1-c)=1-(a+b+c)+ab+bc+ac-abc=
=-1+\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}+ab+bc+ac-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-abc=
=-1+\frac{(a+b+c)^{2}}{2}-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-abc=
=-1+2-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-abc=1-\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2}-abc\gt0.
Следовательно,
a^{2}+b^{2}+c^{2}\lt2-2abc,~\mbox{или}~a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc\lt2.