11202. Дана окружность \omega
с центром O
и две её различные точки A
и C
. Для любой другой точки P
на \omega
отметим середины X
и Y
отрезков AP
и CP
и построим точку H
пересечения высот треугольника OXY
. Докажите, что положение точки H
не зависит от выбора точки P
.
Решение. Если AP
или AQ
— диаметры окружности, то треугольник OXY
вырождается в отрезок. Пусть хорды AP
и CP
не проходят через центр O
окружности. Тогда OX\perp AP
(см. задачу 1677), а так как YH\perp OX
, то YH\parallel AP
, значит, прямая YH
содержит среднюю линию треугольника APC
. Аналогично, прямая XH
содержит среднюю линию этого треугольника. Эти средние линии пересекаются в точке H
— середине стороны AC
.