11203. Дан выпуклый пятиугольник ABCDE
, в котором AE\parallel CD
и AB=BC
. Биссектрисы его углов A
и C
пересекаются в точке K
. Докажите, что BK\parallel AE
.
Решение. Пусть биссектриса угла C
пересекает прямую AE
в точке F
(см. рис.), а прямая, проходящая через точку B
параллельно AE
, пересекает отрезок CF
в точке X
. Тогда
\angle BXC=\angle DCX=\angle BCX.
Отсюда BX=BC=BA
. Значит,
\angle BAX=\angle BXA=\angle FAX.
Следовательно, AX
— биссектриса угла A
, поэтому точка X
совпадает с K
и BK\parallel AE
.
Примечание. На рисунке точка F
лежит на стороне AE
, но в решении это не используется. Можно, доказать, что биссектриса угла C
не может пересекать сторону AB
(а сторону ED
— может).
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Турнир городов. — 2019-2020, XLI, осенний тур, базовый вариант, 10-11 классы, № 2
Источник: Журнал «Квант». — 2019, № 12, с. 34, задача 2