11204. Про пятиугольник ABCDE
известно, что AB=BC=CD=DE
, \angle B=96^{\circ}
, \angle C=\angle D=108^{\circ}
. Найдите \angle E
.
Ответ. 102^{\circ}
.
Решение. Пусть отрезки BD
и CE
пересекаются в точке O
. Треугольники BCD
и CDE
равнобедренные с углом 108^{\circ}
при вершинах, а значит, углы при основаниях равны 36^{\circ}
. Тогда
\angle BCE=\angle BDE=72^{\circ},~\angle BOC=\angle DOE=180^{\circ}-72^{\circ}-36^{\circ}=72^{\circ},
\angle COD=180^{\circ}-\angle DOE=180^{\circ}-72^{\circ}=108^{\circ},
Треугольники CBO
и DEO
равнобедренные, поэтому
AB=BO=BC=CD=DE=EO=x.
Поскольку
\angle OBA=96^{\circ}-36^{\circ}=60^{\circ},
треугольник OBA
равнобедренный с углом 60^{\circ}
при вершине, т. е. равносторонний, поэтому AO=x
. Тогда
\angle AOE=180^{\circ}-\angle DOE-\angle AOB=180^{\circ}-72^{\circ}-60^{\circ}=48^{\circ}.
Треугольник AOE
равнобедренный с углом 48^{\circ}
при вершине, поэтому
\angle OEA=\frac{180^{\circ}-48^{\circ}}{2}=66^{\circ}.
Следовательно,
\angle AED=\angle AEO+\angle OED=66^{\circ}+36^{\circ}=102^{\circ}.
Источник: Журнал «Квант». — 2017, № 12, с. 23, задача 8
Источник: Межрегиональная олимпиада школьников на базе ведомственных образовательных программ. — 2017, № 12, задача 8, 11 класс