11209. Дан квадрат со стороной \sqrt{20}
. За пределами квадрата взята точка, расстояния от которой до двух смежных вершин квадрата равны \sqrt{2}
и 3\sqrt{2}
соответственно. Найдите расстояние от этой точки до центра квадрата.
Ответ. 4.
Решение. Пусть ABCD
— квадрат с центром O
и стороной \sqrt{20}
, M
— точка вне квадрата, удалённая от вершин C
и D
на расстояния \sqrt{2}
и 3\sqrt{2}
соответственно. Обозначим \angle DCM=\alpha
. По теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\frac{CD^{2}+CM^{2}-DM^{2}}{2CD\cdot CM}=\frac{20+2-18}{2\cdot\sqrt{20}\cdot\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.
Тогда
\sin\alpha=\frac{3}{\sqrt{10}},~\cos\angle OCM=\cos(45^{\circ}+\alpha)=
=\cos45^{\circ}\cos\alpha-\sin45^{\circ}\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{10}}-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{5}},
а так как
CO=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{2}}=\sqrt{10},
то
MO=\sqrt{CO^{2}+CM^{2}-2CO\cdot CM\cos(45^{\circ}+\alpha)}=
=\sqrt{10+2+2\sqrt{10}\cdot\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}}}=\sqrt{16}=4.