11213. Каждая из трёх прямых, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть ABCD
— данный шестиугольник; его площадь равна 2S
; K
, L
, M
, N
, G
, H
— середины его сторон AB
, BC
, CD
, DE
, EF
и FA
соответственно. Пусть отрезки KN
и LG
пересекаются в точке P
. Эти отрезки делят площадь шестиугольника пополам, поэтому
S_{KBLP}=S_{KBCDN}-S_{LCDNP}=S-S_{LCDNP}=
=S_{LCDEG}-S_{LCDNP}=S_{NEGP}.
Отрезки PK
и PL
— медианы треугольников APB
и BPC
, поэтому S_{PABC}=2S_{KBLP}
. Аналогично, S_{PDEF}=2S_{NEGP}
. Тогда, четырёхугольники PABC
и PDEF
равновелики. Значит, ломаная MPH
делит площадь данного шестиугольника пополам, как и отрезок MH
. Следовательно, точка P
лежит на отрезке MH
. Что и требовалось доказать.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Журнал «Квант». — 1988, № 6, с. 25, М1106; 1988, № 10, с. 27, М1106
Источник: Задачник «Кванта». — 1988, № 6, с. 25, М1106
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — 6.52, с. 156
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — 6.56, с. 157
Источник: Произволов В. В. Задачи на вырост. — М.: МИРОС, 1995. — № 13, с. 60