11213. Каждая из трёх прямых, соединяющих середины противоположных сторон выпуклого шестиугольника, делит его площадь пополам. Докажите, что эти три прямые пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть ABCD
— данный шестиугольник; его площадь равна 2S
; K
, L
, M
, N
, G
, H
— середины его сторон AB
, BC
, CD
, DE
, EF
и FA
соответственно. Пусть отрезки KN
и LG
пересекаются в точке P
. Эти отрезки делят площадь шестиугольника пополам, поэтому
S_{KBLP}=S_{KBCDN}-S_{LCDNP}=S-S_{LCDNP}=
=S_{LCDEG}-S_{LCDNP}=S_{NEGP}.
Отрезки PK
и PL
— медианы треугольников APB
и BPC
, поэтому S_{PABC}=2S_{KBLP}
. Аналогично, S_{PDEF}=2S_{NEGP}
. Тогда, четырёхугольники PABC
и PDEF
равновелики. Значит, ломаная MPH
делит площадь данного шестиугольника пополам, как и отрезок MH
. Следовательно, точка P
лежит на отрезке MH
. Что и требовалось доказать.