11217. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
диагонали пересекаются в точке O
. Докажите, что равенство
AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=2(AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}+DO^{2})
выполнено тогда и только тогда, когда либо диагонали AC
и BD
перпендикулярны, либо одна из них делит другую пополам.
Решение. Обозначим \angle AOB=\angle COD=\alpha
. Тогда \angle BOC=\angle AOD=180^{\circ}-\alpha
. Применив теорему косинусов к треугольникам AOB
, BOC
, COD
и AOD
, получим, что
AB^{2}=AO^{2}+BO^{2}-2AO\cdot BO\cos\alpha,~BC^{2}=BO^{2}+CO^{2}+2BO\cdot CO\cos\alpha,
CD^{2}=CO^{2}+DO^{2}-2CO\cdot DO\cos\alpha,~DA^{2}=DO^{2}+AO^{2}+2DO\cdot AO\cos\alpha.
Сложим эти равенства и перенесём квадраты отрезков диагоналей в левую часть:
AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}-2(AO^{2}+BO^{2}+CO^{2}+DO^{2})=
=2(-AO\cdot BO+BO\cdot CO-CO\cdot DO+DO\cdot AO)\cos\alpha=
=2(BO-DO)(CO-AO).
Равенство из условия задачи равносильно тому, последнее полученное выражение равно нулю, значит, либо \cos\alpha=0
, и следовательно, диагонали AC
и BD
перпендикулярны, либо BO=DO
, либо CO=AO
, т. е. одна из диагоналей делится точкой O
пополам. Что и требовалось доказать.