1122. В треугольнике известны углы A
, B
, C
. Найдите углы шести треугольников, на которые данный треугольник разбивается его биссектрисами.
Ответ. \frac{1}{2}\angle A
, \frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle C
, \angle B+\frac{1}{2}\angle C
и т. д.
Указание. Примените теорему о внешнем угле треугольника.
Решение. Пусть AA_{1}
, BB_{1}
, CC_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
, M
— точка их пересечения. Найдём углы треугольника AMC_{1}
:
\angle MAC_{1}=\frac{1}{2}\angle A,~\angle AMC_{1}=\angle MAC+\angle ACM=\frac{1}{2}\angle A+\frac{1}{2}\angle C
(внешний угол треугольника AMC
),
\angle AC_{1}M=\angle C_{1}BC+\angle BCC_{1}=\angle B+\frac{1}{2}\angle C
(внешний угол треугольника BCC_{1}
). Остальное аналогично.