11220. В треугольнике ABC
: I
— центр вписанной окружности, точка M
лежит на стороне BC
, причём \angle BIM=90^{\circ}
. Докажите, что расстояние от точки M
до прямой AB
равно диаметру окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Первый способ. Пусть N
и K
— основания перпендикуляров, проведённых к прямой AB
из точек I
и M
соответственно (рис. 1). Поскольку IN
— радиус вписанной окружности треугольника ABC
, достаточно доказать, что MK=2IN
.
Пусть L
— точка пересечения прямых MI
и AB
. Тогда треугольник MBL
равнобедренный, так как его биссектриса совпадает с высотой. Значит, MI=IL
, а так как IN\parallel MK
, то в треугольнике MLK
отрезок IN
— средняя линия. Следовательно, MK=2NI
. Что и требовалось доказать.
Второй способ. Пусть прямая, проходящая через точку M
параллельно AB
, пересекает прямую BI
в точке P
(рис. 2). Тогда треугольник PMB
равнобедренный и MI
— биссектриса угла PMB
. Значит, точка I
равноудалена от прямых MP
и MB
, т. е. прямая MP
— касательная к вписанной окружности треугольника ABC
. Следовательно, расстояние между прямыми MP
и AB
равно диаметру окружности. Что и требовалось доказать.