11225. Окружность, вписанная в квадрат ABCD
, касается сторон AB
и CD
в точках M
и K
соответственно. Прямая BK
пересекает эту окружность в точке L
; точка X
— середина отрезка KL
. Найдите угол MXK
.
Ответ. 135^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Отрезок MK
— диаметр окружности, поэтому
\angle BMK=\angle MLK=90^{\circ}
(рис. 1). Тогда прямоугольные треугольники BMK
и MLK
подобны по двум углам. Диаметр окружности, вписанной в квадрат, равен его стороне, поэтому ML:LK=BM:MK=1:2
. Следовательно, XL=ML
, т. е. \angle MXL=45^{\circ}
, а \angle MXK=135^{\circ}
.
Второй способ. Пусть O
— центр окружности, P
— точка касания со стороной BC
(рис. 2). Тогда
\angle BMO=\angle BPO=\angle BXO=90^{\circ},
так как X
— середина хорды LK
(см. задачу 1677). Значит, точка X
лежит на описанной окружности квадрата BPOM
, и
\angle BXM=\angle BPM=45^{\circ}.
Следовательно, \angle MXK=135^{\circ}
.
Автор: Волчкевич М. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2019, XV, задача 1, 10-11 классы
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2019, XV, задача 1, 10-11 классы