11226. Углы одного четырёхугольника соответственно равны углам другого четырёхугольника. Кроме того, равны соответствующие углы между их диагоналями. Обязательно ли такие четырёхугольники подобны?
Ответ. Нет, не обязательно.
Решение. Рассмотрим остроугольный треугольник ABC
, в котором \angle A=45^{\circ}
. Пусть D
— ортоцентр этого треугольника (рис. 1). Тогда в невыпуклом четырёхугольнике ABDC
три угла равны по 45^{\circ}
, один 225^{\circ}
, а диагонали перпендикулярны.
Рассмотрим теперь треугольник A_{1}B_{1}C_{1}
, в котором \angle A_{1}=45^{\circ}
, A_{1}B_{1}=AB
, а A_{1}C_{1}\ne AC
. Пусть D_{1}
— ортоцентр этого треугольника (рис. 2). Тогда в четырёхугольниках ABCD
и A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}
равны четыре соответственных угла и соответственные углы между диагоналями. Подобными они не являются, так как отношения соответствующих сторон не равны.
Примечание. 1. Существуют и другие примеры таких невыпуклых четырёхугольников.
2. Если в условии потребовать выпуклость четырёхугольников, то такие четырёхугольники будут подобны
Автор: Кононенко Н. А.
Источник: Олимпиада по геометрии им. И. Ф. Шарыгина. — 2019, XV, задача 2, 10-11 классы
Источник: Московская устная олимпиада по геометрии. — 2019, XV, задача 2, 10-11 классы