11229. Биссектриса угла A
выпуклого четырёхугольника ABCD
пересекает сторону CD
в точке K
. Оказалось, что DK=BC
и KC+AB=AD
. Докажите, что \angle BCD=\angle ADC
.
Решение. Пусть точка D'
симметрична D
относительно прямой AK
. Тогда
BC=DK=D'K~\mbox{и}~KC=AD-AB=AD'-AB=BD',
откуда следует равенство треугольников BD'K
и BCK
по трём сторонам. Поскольку угол DAB
симметричен относительно его биссектрисы AK
, точка D'
лежит на луче AB
. Тогда
\angle BCK=\angle BD'K=\angle AD'K=\angle ADK=\angle ADC.