11232. В остроугольном треугольнике
ABC
проведена биссектриса
BL
. Окружность, описанная около треугольника
ABL
, пересекает сторону
BC
в точке
D
. Оказалось, что точка
S
, симметричная точке
C
относительно прямой
DL
, лежит на стороне
AB
и не совпадает с её концами. Какие значения может принимать
\angle ABC
?
Ответ.
60^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Из симметрии треугольники
CLD
и
SLD
равны (рис. 1), поэтому
DS=DC,~\angle CDL=\angle SDL,~\angle DLC=\angle DLS.

Поскольку четырёхугольник
ALDB
вписан в окружность,
\angle BAL=\angle LDC
. На хорды
AL
и
DL
этой окружности опираются равные углы, поэтому
AL=DL
. Отложим на луче
AB
отрезок
AS'=DS=DC
. Тогда треугольники
S'LA
и
SLD
равны по двум сторонам (
AS'=DS
,
AL=DL
) и углу между ними. Значит,
LS'=LS
и
\angle AS'L=\angle DSL
.
Если точки
S'
и
S
не совпадают, то в равнобедренном треугольнике
LSS'
углы при основании
SS'
равны, поэтому
\angle AS'L=\angle BSL
. Значит,
\angle DSL=\angle BSL
, т. е. точка
D
лежит на
AB
, что невозможно.
Итак, точки
S'
и
S
совпадают, и
\angle ALS=\angle DLS=\angle DLC
. Сумма этих трёх углов равна
180^{\circ}
, поэтому они равны по
60^{\circ}
. Отсюда
\angle ABC=180^{\circ}-\angle ALD=60^{\circ}.

Второй способ. Пусть
\Omega
— окружность, описанная около треугольника
BCS
(рис. 2). В этом треугольнике луч
BL
— биссектрисой угла
B
, а прямая
LD
— серединный перпендикуляр к стороне
CS
. Эти прямые различны, поэтому точка
L
их пересечения лежит на окружности
\Omega
(см. задачу 1743).
Обозначим
\angle ABC=\beta
. Поскольку четырёхугольник
ALDB
вписанный,
\angle DLC=180^{\circ}-\angle ALD=\angle ABC=\beta.

Из симметрии получаем, что
\angle DLC=\angle DLS=\beta.

Теперь из окружности
\Omega
получаем, что
180^{\circ}=\angle CBS+\angle SLC=\beta+\angle DLS+\angle DLC=3\beta,

откуда
\beta=60^{\circ}
.
Примечание. Существуют и другие решения. Можно, например, заметить, что точка
L
— центр вневписанной окружности треугольника
BDS
(поскольку
BL
— биссектриса внутреннего угла этого треугольника, а
DL
— биссектриса его внешнего угла). Это приводит к вычислению
\angle ABC=\angle DLC=\angle DLS=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC,4

откуда следует ответ.
Можно также рассмотреть точку
T
, симметричную точке
C
относительно прямой
LB
, а также проекции
S'
и
T'
точки
C
на прямые
LD
и
LB
соответственно. Из вписанности четырёхугольников
ABDL
и
LT'S'C
имеем
\angle ABC=\angle DLC=\angle S'T'C=\angle STC=\angle BTC.

Но треугольник
BTC
равнобедренный, поэтому
\angle BTC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC.