11232. В остроугольном треугольнике ABC
проведена биссектриса BL
. Окружность, описанная около треугольника ABL
, пересекает сторону BC
в точке D
. Оказалось, что точка S
, симметричная точке C
относительно прямой DL
, лежит на стороне AB
и не совпадает с её концами. Какие значения может принимать \angle ABC
?
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Первый способ. Из симметрии треугольники CLD
и SLD
равны (рис. 1), поэтому
DS=DC,~\angle CDL=\angle SDL,~\angle DLC=\angle DLS.
Поскольку четырёхугольник ALDB
вписан в окружность, \angle BAL=\angle LDC
. На хорды AL
и DL
этой окружности опираются равные углы, поэтому AL=DL
. Отложим на луче AB
отрезок AS'=DS=DC
. Тогда треугольники S'LA
и SLD
равны по двум сторонам (AS'=DS
, AL=DL
) и углу между ними. Значит, LS'=LS
и \angle AS'L=\angle DSL
.
Если точки S'
и S
не совпадают, то в равнобедренном треугольнике LSS'
углы при основании SS'
равны, поэтому \angle AS'L=\angle BSL
. Значит, \angle DSL=\angle BSL
, т. е. точка D
лежит на AB
, что невозможно.
Итак, точки S'
и S
совпадают, и \angle ALS=\angle DLS=\angle DLC
. Сумма этих трёх углов равна 180^{\circ}
, поэтому они равны по 60^{\circ}
. Отсюда
\angle ABC=180^{\circ}-\angle ALD=60^{\circ}.
Второй способ. Пусть \Omega
— окружность, описанная около треугольника BCS
(рис. 2). В этом треугольнике луч BL
— биссектрисой угла B
, а прямая LD
— серединный перпендикуляр к стороне CS
. Эти прямые различны, поэтому точка L
их пересечения лежит на окружности \Omega
(см. задачу 1743).
Обозначим \angle ABC=\beta
. Поскольку четырёхугольник ALDB
вписанный,
\angle DLC=180^{\circ}-\angle ALD=\angle ABC=\beta.
Из симметрии получаем, что
\angle DLC=\angle DLS=\beta.
Теперь из окружности \Omega
получаем, что
180^{\circ}=\angle CBS+\angle SLC=\beta+\angle DLS+\angle DLC=3\beta,
откуда \beta=60^{\circ}
.
Примечание. Существуют и другие решения. Можно, например, заметить, что точка L
— центр вневписанной окружности треугольника BDS
(поскольку BL
— биссектриса внутреннего угла этого треугольника, а DL
— биссектриса его внешнего угла). Это приводит к вычислению
\angle ABC=\angle DLC=\angle DLS=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC,4
откуда следует ответ.
Можно также рассмотреть точку T
, симметричную точке C
относительно прямой LB
, а также проекции S'
и T'
точки C
на прямые LD
и LB
соответственно. Из вписанности четырёхугольников ABDL
и LT'S'C
имеем
\angle ABC=\angle DLC=\angle S'T'C=\angle STC=\angle BTC.
Но треугольник BTC
равнобедренный, поэтому
\angle BTC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ABC.
Автор: Обухов Б. А.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2019-2020, XLVI, региональный этап, № 8, 9 класс