11239. Даны отрезок AB
и окружность. Постройте на окружности такие точки C
и D
, чтобы четырёхугольник ABCD
был равнобокой трапецией с основанием AD
.
Решение. Пусть равнобокая трапеция ABCD
с основанием AD
и вершинами C
и D
на данной окружности \omega
построена. Рассмотрим симметрию относительно общего серединного перпендикуляра l
к её основаниям AD
и BC
. При этой симметрии данная окружность \omega
переходит в окружность \omega_{1}
, симметричную \omega
относительно прямой l
.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Сначала построим треугольник ABM
по трём сторонам: данному отрезку AB
и отрезкам, равным радиусу данной окружности \omega
. Затем с центром в точке M
построим окружность \omega_{1}
радиуса MA
и проведём серединный перпендикуляр l
к отрезку с концами в центрах окружностей \omega
и \omega_{1}
. Вершины D
и C
искомой трапеции — точки, симметричные данным точкам соответственно A
и B
относительно прямой l
.
В общем случае задача имеет два решения, так как существует два треугольника ABM
.