11240. На стороне AB
остроугольного треугольника ABC
отметили точку K
. Середина отрезка CK
равноудалена от точек A
и B
. Докажите, что AK\lt BC
.
Решение. Пусть M
— середина CK
. Отметим на отрезке AB
такую точку D
, что BD=AK
. Тогда DM=KM
(например, в силу симметрии равнобедренного треугольника AMB
относительно серединного перпендикуляра к отрезку AB
). В треугольнике CKD
медиана DM
в два раза меньше стороны, к которой она проведена, значит, он прямоугольный. Тогда BD\lt BC
, так как это катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике BCD
. Следовательно, AK=BD\lt BC
.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2019, задача 14
Источник: Журнал «Квант». — 2019, № 12, с. 23, задача 14; 2020, № 2, с. 57