11240. На стороне
AB
остроугольного треугольника
ABC
отметили точку
K
. Середина отрезка
CK
равноудалена от точек
A
и
B
. Докажите, что
AK\lt BC
.
Решение. Пусть
M
— середина
CK
. Отметим на отрезке
AB
такую точку
D
, что
BD=AK
. Тогда
DM=KM
(например, в силу симметрии равнобедренного треугольника
AMB
относительно серединного перпендикуляра к отрезку
AB
). В треугольнике
CKD
медиана
DM
в два раза меньше стороны, к которой она проведена, значит, он прямоугольный. Тогда
BD\lt BC
, так как это катет и гипотенуза в прямоугольном треугольнике
BCD
. Следовательно,
AK=BD\lt BC
.
Автор: Бакаев Е. В.
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2019, задача 14
Источник: Журнал «Квант». — 2019, № 12, с. 23, задача 14; 2020, № 2, с. 57