11243. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
взяты точки M
и N
соответственно. Три параллельные прямые, проходящие через точки M
, B
и N
, пересекают основание AC
в точках K
, D
и L
соответственно. Докажите, что площадь трапеции (или параллелограмма) KMNL
не больше площади одного из треугольников ABD
и DBC
.
Решение. Обозначим
\angle ANN=\angle ADB=\alpha,~AD=a,~BD=b,~CD=c,
\frac{MK}{BD}=\frac{AK}{AD}=k,~\frac{CL}{CD}=\frac{NL}{BD}=l,
т. е.
MK=kb,~NL=lb,~KL=KD+DL=(1-k)a+(1-l)c,
а так как расстояние между прямыми MK
и NL
равно KL\sin\alpha
, то площадь четырёхугольника KMNL
равна
\frac{1}{2}(MK+NL)KL\sin\alpha=\frac{1}{2}(kb+lb)((1-k)a+(1-l)c)\sin\alpha.
Пусть для определённости a\geqslant c
. Тогда последнее выражение не превосходит
\frac{1}{2}b(k+l)(2-(k+l))a\sin\alpha\leqslant
\leqslant\frac{1}{2}ab\sin\alpha\cdot\left(\frac{(k+l)+(2-(k+l))}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}ab\sin\alpha=S_{\triangle ABD}