11246. Пусть x
, y
, z
— длины сторон треугольника. Докажите, что величина
\left|\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x}\right|
меньше: а) 1; б) \frac{1}{8}
.
Решение. Докажем сначала, что модуль рассматриваемой суммы равен произведению. Действительно, так как z-x=(z-y)+(y-x)
, то
\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x}=\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-y}{z+x}+\frac{y-x}{z+x}=
=(x-y)\left(\frac{1}{x+y}-\frac{1}{z+x}\right)+(y-z)\left(\frac{1}{y+z}-\frac{1}{z+x}\right)=
=\frac{(x-y)(y-z)}{x+z}\left(-\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}\right)=\frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}.
Теперь будем оценивать это произведение.
а) Поскольку x
, y
, z
— положительные числа, справедливы неравенства
|x-y|\lt x+y,~|y-z|\lt y+z,~|z-x|\lt z+x.
Следовательно,
\left|\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x}\right|=\left|\frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\right|=
=\left|\frac{x-y}{x+y}\right|\cdot\left|\frac{y-z}{y+z}\right|\cdot\left|\frac{z-x}{z+x}\right|=\frac{|x-y|}{x+y}\cdot\frac{|y-z|}{y+z}\cdot\frac{|z-x|}{z+x}\lt1
(Для этого пункта условие, что x
, y
, z
— длины сторон треугольника, несущественно.)
б) Сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон, но меньше их разности, поэтому
y-z\lt x\lt y+z~\Rightarrow~-z\lt x-y\lt z~\Rightarrow~|x-y|\lt z.
Аналогично
|y-z|\lt x,~|z-x|\lt y.
Следовательно,
\left|\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x}\right|=\left|\frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}\right|=
=\frac{|x-y|}{x+y}\cdot\frac{|y-z|}{y+z}\cdot\frac{|z-x|}{z+x}\lt\frac{zxy}{(x+y)(y+z)(z+x)}=
=\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\cdot\frac{\sqrt{yz}}{y+z}\cdot\frac{\sqrt{zx}}{z+x}\leqslant\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8},
(так как для любых двух положительных чисел a
и b
верно неравенство \frac{a+b}{2}\geqslant\sqrt{ab}
).
Примечание. Более подробное исследование средствами математического анализа позволяет установить точную оценку:
\left|\frac{x-y}{x+y}+\frac{y-z}{y+z}+\frac{z-x}{z+x}\right|\lt\frac{16\sqrt{2}-10\sqrt{5}}{3}.
Равенство в этой оценке достигается для вырожденного треугольника со сторонами
z=1,~y=\frac{\sqrt{10}+\sqrt{5}+\sqrt{2}+1}{2},~x=z+y.