11255. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота CD
из вершины прямого угла. Точки I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ADC
и BDC
. Докажите, что треугольники I_{1}I_{2}D
и ABC
подобны.
Решение. Рассмотрим случай, когда AC\gt AB
. Пусть L
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
с гипотенузой AB
. Точки L
, I_{1}
, I_{2}
, D
лежат на одной окружности (см. пункт а) задачи 10602), причём \angle I_{1}DI_{2}=90^{\circ}
как угол между биссектрисами смежных углов. Вписанные в эту окружность углы DI_{1}I_{2}
и DLI_{2}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны. Поскольку LI_{2}\parallel AC
(см. пункт в) задачи 11252), угол DLI_{2}
равен углу BAC
. Значит,
\angle DI_{1}I_{2}=\angle DLI_{2}=\angle ABC.
Следовательно, треугольники I_{1}I_{2}D
и ABC
подобны по двум углам.
Примечание. 1. См. статью Л.Д.Курляндчика «Прямоугольный треугольник», Квант, 1989, N3, с.56-58.
2. См. также статью А.Д.Блинкова и Ю.А.Блинкова «Две окружности в треугольнике, три окружности в треугольнике...», Квант, 2012, N2, с.45-49.