11259. В прямоугольном треугольнике ABC
проведена высота CD
из вершины прямого угла. Точки I
, I_{1}
и I_{2}
— центры вписанных окружностей треугольников ABC
, ADC
и BDC
, P
и Q
— точки пересечения с гипотенузой AB
лучей CI_{1}
и CI_{2}
соответственно. Докажите, что точки A
, C
, I
, P
лежат на одной окружности и точки B
, C
, I
, Q
лежат на одной окружности.
Решение. Точка I
— центр описанной окружности треугольника PCQ
(см. пункт б) задачи 11252), поэтому PIQ
центральный угол этой окружности, соответствующий вписанному углу PCQ
. Лучи CI_{1}
и CI_{1}
— биссектрисы углов, сумма которых равна 90^{\circ}
, поэтому
\angle PCQ=\angle I_{1}CI_{2}=45^{\circ}.
Тогда
\angle PIQ=2\angle PCQ=90^{\circ}.
При этом IP=IQ
как радиусы одной окружности, значит, треугольник PIQ
прямоугольный и равнобедренный. Тогда \angle IPQ=45^{\circ}=\angle ACI
. Следовательно, ACIP
— вписанный четырёхугольник. Аналогично для четырёхугольника BCIQ
.
Примечание. См. статью Л.Д.Курляндчика «Прямоугольный треугольник», Квант, 1989, N3, с.56-58.