11265. Числа a
, b
, c
— длины сторон треугольника. Докажите неравенство
\frac{a^{2}+2bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}+2ca}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}+2ab}{a^{2}+b^{2}}\gt3.
Решение. Из неравенства треугольника следует, что a\gt|b-c|
. После возведения в квадрат получим, что a^{2}\gt b^{2}-2bc+c^{2}
. Отсюда a^{2}+2bc\gt b^{2}+c^{2}
. Правая часть положительна, и на неё можно разделить. Получаем, что первое слагаемое в левой части доказываемого неравенства больше 1. То же верно для двух других слагаемых. Поэтому их сумма больше 3.