11275. Вокруг трапеции нельзя описать окружность. Докажите, что трапеция, образованная серединными перпендикулярами к её сторонам, подобна исходной.
Решение. Пусть AB
и CD
(AB\gt CD
) — основания исходной трапеции, K
и L
— середины боковых сторон AD
и BC
соответственно, T
— середина основания AB
, R
— середина средней линии KL
, CF=DE=h
— высоты трапеции, A'B'C'D'
— трапеция с основаниями A'B'\gt C'D'
, образованная серединными перпендикулярами к сторонам трапеции ABCD
, M
и N
— середины её боковых сторон A'D'
и B'C'
соответственно, TS=h'
— высота трапеции A'B'C'D'
, Q
— точка пересечения прямых C'D'
и KL
.
Угол при вершине A'
трапеции A'B'C'D'
дополняет до 180^{\circ}
угол при вершине D
трапеции ABCD
, значит, угол A'
равен углу при вершине A
исходной трапеции. Аналогично для остальных углов этих трапеций. Докажем, что
\frac{AB+CD}{2h}=\frac{A'B'+C'D'}{2h'}.
Отсюда будет следовать требуемое подобие.
Заметим, что точка R
лежит на прямой MN
. Обозначим
\angle RLN=\angle BCF=\beta,~\angle RKM=\angle ADE=\alpha.
Тогда
MN=NR-MR=RL\tg\beta-RK\tg\alpha=
=\frac{1}{2}KL(\tg\beta-\tg\alpha)=\frac{AB+CD}{4}(\tg\beta-\tg\alpha).
Кроме того,
h\tg\beta-h\tg\alpha=BF\tg\beta-AE\tg\alpha=BF-AE=
=(BT-TF)-(AT-TE)=TE-TF=
=(ES+ST)-(SF-ST)=2ST=2h'
(так как ES=SF
). Значит, 2h'=h(\tg\beta-\tg\alpha)
. Следовательно,
\frac{A'B'+C'D'}{2h'}=\frac{2MN}{2h'}=\frac{2MN}{h(\tg\beta-\tg\alpha)}=
=\frac{\frac{AB+CD}{2}(\tg\beta-\tg\alpha)}{h(\tg\beta-\tg\alpha)}=\frac{AB+CD}{2h}.
Что и требовалось доказать.