11276. На сторонах треугольника ABC
во внешнюю сторону построены квадраты ABMN
, BCKL
и ACPQ
. На отрезках NQ
и PK
построены квадраты MQZT
и PKXY
. Найдите разность площадей квадратов MQZT
и PKXY
, если известна разность d
площадей квадратов ABMN
и BCKL
; а) в случае, если угол ABC
прямой; б) в общем случае.
Ответ. 3d
.
Решение. По теореме косинусов
NQ^{2}=AN^{2}+AQ^{2}-2AN\cdot AQ\cos\angle NAQ=AB^{2}+AC^{2}+2AB\cdot AC\cos\angle BAC
(так как \angle NAQ+\angle BAC=180^{\circ}
),
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos\angle BAC.
Сложив эти два равенства, получим, что
NQ^{2}+BC^{2}=2AB^{2}+2AC^{2}~\mbox{или}~NQ^{2}=2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2}.
Аналогично,
PK^{2}+AB^{2}=2BC^{2}+2AC^{2},~\mbox{или}~PK^{2}=2BC^{2}+2AC^{2}-AB^{2}.
Следовательно,
S_{NQZT}-S_{PKXY}=NQ^{2}-PK^{2}=
=(2AB^{2}+2AC^{2}-BC^{2})-(2BC^{2}+2AC^{2}-AB^{2})=
=3AB^{2}-3BC^{2}=3(AB^{2}-BC^{2})=3(S_{ABMN}-S_{BCKL})=3d.
Автор: Герко А. А.
Источник: Турнир городов. — 1995-1996, XVII, весенний тур, старшие классы, тренировочный вариант
Источник: Журнал «Квант». — 1996, № 4, с. 27, М1554; 1997, № 1, с. 27, М1554
Источник: Задачник «Кванта». — М1554