11278. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF
известно, что AB\parallel DE
, BC\parallel EF
, CD\parallel AF
. Пусть R_{A}
, R_{C}
, R_{E}
— радиусы окружностей, описанных около треугольников ABF
, BCD
, DEF
соответственно, а p
— полупериметр шестиугольника. Докажите, что
R_{A}+R_{C}+R_{E}\geqslant p.
Решение. Обозначим
AB=a,~BC=b,~CD=c,~DE=d,~EF=e,~FA=f.
Опустим перпендикуляры AP
и AS
на прямые BC
и EF
соответственно, а также перпендикуляры DQ
и DR
на прямые BC
и EF
соответственно. Получим прямоугольник PQRS
. Заметим, что \angle ABP=\angle DER
как углы между соответственно сонаправленными лучами. Аналогично для остальных пар соответствующих углов.
Далее
BF\geqslant PS=QR~\Rightarrow~2BF\geqslant PS+QR~\Rightarrow~
\Rightarrow~2BF\geqslant(a\sin\angle ABP+f\sin\angle AFS)+(c\sin\angle DCQ+d\sin\angle DER)=
=(a\sin\angle B+f\sin\angle F)+(c\sin\angle C+d\sin\angle E).
Аналогично, опуская перпендикуляры из вершин C
и F
на прямые AB
и DE
, а также из вершин B
и E
на прямые CD
и AF
, получим, что
2BD\geqslant(c\sin\angle A+b\sin\angle B)+(e\sin\angle B+f\sin\angle A),
2DF\geqslant(d\sin\angle A+e\sin\angle C)+(b\sin\angle C+a\sin\angle A).
По теореме синусов
R_{A}=\frac{BF}{2\sin\angle A},~R_{C}=\frac{BD}{2\sin\angle C},~R_{E}=\frac{DF}{2\sin\angle E}=\frac{DF}{2\sin\angle B}.
Таким образом,
4(R_{A}+R_{C}+R_{E})=\frac{2BF}{\sin\angle A}+\frac{2BD}{\sin\angle C}+\frac{2DF}{\sin\angle E}\geqslant
\geqslant\left(\frac{a\sin\angle B}{\sin\angle A}+\frac{f\sin\angle F}{\sin\angle A}\right)+\left(\frac{c\sin\angle C}{\sin\angle A}+\frac{d\sin\angle B}{\sin\angle A}\right)+\left(\frac{c\sin\angle A}{\sin\angle C}+\frac{b\sin\angle B}{\sin\angle C}\right)+
+\left(\frac{e\sin\angle B}{\sin\angle C}+\frac{f\sin\angle A}{\sin\angle C}\right)+\left(\frac{e\sin\angle C}{\sin\angle B}+\frac{d\sin\angle A}{\sin\angle B}\right)+\left(\frac{a\sin\angle A}{\sin\angle B}+\frac{b\sin\angle C}{\sin\angle B}\right)=
=a\left(\frac{\sin\angle B}{\sin\angle A}+\frac{\sin\angle A}{\sin\angle B}\right)+b\left(\frac{\sin\angle B}{\sin\angle C}+\frac{\sin\angle C}{\sin\angle B}\right)+c\left(\frac{\sin\angle C}{\sin\angle A}+\frac{\sin\angle A}{\sin\angle C}\right)+
+d\left(\frac{\sin\angle B}{\sin\angle A}+\frac{\sin\angle A}{\sin\angle B}\right)+e\left(\frac{\sin\angle B}{\sin\angle C}+\frac{\sin\angle C}{\sin\angle B}\right)+d\left(\frac{\sin\angle B}{\sin\angle A}+\frac{\sin\angle A}{\sin\angle B}\right)\geqslant
\geqslant2a+2b+2c+2d+2e+2d+2f=4p.
Что и требовалось доказать.