11278. В выпуклом шестиугольнике
ABCDEF
известно, что
AB\parallel DE
,
BC\parallel EF
,
CD\parallel AF
. Пусть
R_{A}
,
R_{C}
,
R_{E}
— радиусы окружностей, описанных около треугольников
ABF
,
BCD
,
DEF
соответственно, а
p
— полупериметр шестиугольника. Докажите, что
R_{A}+R_{C}+R_{E}\geqslant p.

Решение. Обозначим
AB=a,~BC=b,~CD=c,~DE=d,~EF=e,~FA=f.

Опустим перпендикуляры
AP
и
AS
на прямые
BC
и
EF
соответственно, а также перпендикуляры
DQ
и
DR
на прямые
BC
и
EF
соответственно. Получим прямоугольник
PQRS
. Заметим, что
\angle ABP=\angle DER
как углы между соответственно сонаправленными лучами. Аналогично для остальных пар соответствующих углов.
Далее
BF\geqslant PS=QR~\Rightarrow~2BF\geqslant PS+QR~\Rightarrow

\Rightarrow~2BF\geqslant(a\sin\angle ABP+f\sin\angle AFS)+(c\sin\angle DCQ+d\sin\angle DER)=

=(a\sin\angle B+f\sin\angle F)+(c\sin\angle C+d\sin\angle E).

Аналогично, опуская перпендикуляры из вершин
C
и
F
на прямые
AB
и
DE
, а также из вершин
B
и
E
на прямые
CD
и
AF
, получим, что
2BD\geqslant(c\sin\angle A+b\sin\angle B)+(e\sin\angle B+f\sin\angle A),

2DF\geqslant(d\sin\angle A+e\sin\angle C)+(b\sin\angle C+a\sin\angle A).

По теореме синусов
R_{A}=\frac{BF}{2\sin\angle A},~R_{C}=\frac{BD}{2\sin\angle C},~R_{E}=\frac{DF}{2\sin\angle E}=\frac{DF}{2\sin\angle B}.

Таким образом,
4(R_{A}+R_{C}+R_{E})=\frac{2BF}{\sin\angle A}+\frac{2BD}{\sin\angle C}+\frac{2DF}{\sin\angle E}\geqslant

\geqslant\left(\frac{a\sin\angle B}{\sin\angle A}+\frac{f\sin\angle F}{\sin\angle A}\right)+\left(\frac{c\sin\angle C}{\sin\angle A}+\frac{d\sin\angle B}{\sin\angle A}\right)+\left(\frac{c\sin\angle A}{\sin\angle C}+\frac{b\sin\angle B}{\sin\angle C}\right)+

+\left(\frac{e\sin\angle B}{\sin\angle C}+\frac{f\sin\angle A}{\sin\angle C}\right)+\left(\frac{e\sin\angle C}{\sin\angle B}+\frac{d\sin\angle A}{\sin\angle B}\right)+\left(\frac{a\sin\angle A}{\sin\angle B}+\frac{b\sin\angle C}{\sin\angle B}\right)=

=a\left(\frac{\sin\angle B}{\sin\angle A}+\frac{\sin\angle A}{\sin\angle B}\right)+b\left(\frac{\sin\angle B}{\sin\angle C}+\frac{\sin\angle C}{\sin\angle B}\right)+c\left(\frac{\sin\angle C}{\sin\angle A}+\frac{\sin\angle A}{\sin\angle C}\right)+

+d\left(\frac{\sin\angle B}{\sin\angle A}+\frac{\sin\angle A}{\sin\angle B}\right)+e\left(\frac{\sin\angle B}{\sin\angle C}+\frac{\sin\angle C}{\sin\angle B}\right)+d\left(\frac{\sin\angle B}{\sin\angle A}+\frac{\sin\angle A}{\sin\angle B}\right)\geqslant

\geqslant2a+2b+2c+2d+2e+2d+2f=4p.

Что и требовалось доказать.
Источник: Международная математическая олимпиада. — 1996, XXXIX, Армения
Источник: Журнал «Квант». — 1996, № 6, с. 21, М1574; 1997, № 3, с. 21, М1574
Источник: Задачник «Кванта». — М1574