11288. Пусть \alpha
, \beta
, \gamma
— углы при вершинах соответственно A
, B
, C
треугольника ABC
. Докажите, что
\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\gt\cos\frac{\alpha}{2}.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, R_{1}
— радиус описанной окружности треугольника BIC
. Поскольку BI
и CI
— биссектрисы углов ABC
и ACB
, то
\angle BIC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770). По теореме синусов
CI=2R_{1}\sin\frac{\beta}{2},~BI=2R_{1}\sin\frac{\gamma}{2},~BC=2R_{1}\sin\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=2R_{1}\cos\frac{\alpha}{2}.
По неравенству треугольника BI+CI\gt BC
, или
2R_{1}\sin\frac{\beta}{2}+2R_{1}\sin\frac{\gamma}{2}\gt2R_{1}\cos\frac{\alpha}{2}.
Следовательно,
\sin\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\gt\cos\frac{\alpha}{2}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью Г.Филипповского «Замечательные точки треугольника и тригонометрия», Квант, 2010, N4, с.31, 34-35.