11298. На наибольшей стороне AB
треугольника ABC
взяли такие точки M
и N
, что BC=BM
и CA=AN
, а на сторонах CA
и BC
— такие точки P
и Q
, что PM
параллелен BC
и QN
параллелен CA
. Докажите, что QC=CP
.
Решение. Каждый из углов MPC
и CQN
в сумме с углом C
треугольника ABC
составляет 180^{\circ}
, поэтому \angle MPC=\angle CQN
. Убедимся теперь, что MC
является биссектрисой угла PMB
.
Действительно, с одной стороны, \angle PMC=\angle BCM
, так как PM\parallel BC
, а с другой — \angle BCM=\angle BMC
, поскольку треугольник BCM
равнобедренный. Аналогично, что NC
— биссектриса угла QNA
.
При симметрии относительно прямой MC
точка P
перейдёт в точку P_{1}
, лежащую на AB
. Аналогично, при симметрии относительно прямой NC
точка Q
перейдёт в точку Q_{1}
, также лежащую на AB
. Из равенства
\angle CP_{1}M=\angle CPM=\angle CQN=\angle CQ_{1}N
следует, что треугольник P_{1}CQ_{1}
равнобедренный. Значит,
CQ=CQ_{1}=CP_{1}=CP.
Что и требовалось доказать.