11315. Пусть a
, b
и c
— стороны треугольника, I
— центр вписанной окружности. Докажите, что
\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=1.
Решение. \alpha
, \beta
и \gamma
— углы, противолежащие сторонам a
, b
и c
соответственно, S
— площадь треугольника, p
— полупериметр. Тогда
IA=\frac{r}{\sin\frac{\alpha}{2}},~bc=\frac{2S}{\sin\alpha},
поэтому
\frac{IA^{2}}{bc}=\frac{r^{2}}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}\cdot\frac{\sin\alpha}{2S}=\frac{r^{2}\cdot2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2}}{2S\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{r^{2}\ctg^{2}\frac{\alpha}{2}}{S}=
=\frac{r}{S}\cdot r\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{p}\cdot(p-a)=\frac{p-a}{p}.
Аналогично,
\frac{IB^{2}}{ac}=\frac{p-b}{p},~\frac{IC^{2}}{ab}=\frac{p-c}{p}.
Следовательно,
\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=\frac{p-a}{p}+\frac{p-b}{p}+\frac{p-c}{p}=
=\frac{p-a+p-b+p-c}{p}=\frac{3p-2p}{p}=1.