1132. Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по катету и противолежащему углу.
Указание. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
с гипотенузами AB
и A_{1}B_{1}
равны катеты AC
и A_{1}C_{1}
и острые углы \angle B
и \angle B_{1}
. На продолжении катета BC
за точку C
отложите отрезок CB_{2}
, равный B_{1}C_{1}
.
Решение. Пусть в прямоугольных треугольниках ABC
и A_{1}B_{1}C_{1}
с гипотенузами AB
и A_{1}B_{1}
равны катеты AC
и A_{1}C_{1}
и острые углы \angle B
и \angle B_{1}
. На продолжении катета BC
за точку C
отложим отрезок CB_{2}
, равный B_{1}C_{1}
. Тогда прямоугольный треугольник ACB_{2}
равен треугольнику A_{1}C_{1}B_{1}
по двум катетам, поэтому \angle B_{2}=\angle B_{1}=\angle B
. Значит, треугольник BAB_{2}
равнобедренный, поэтому AB=AB_{2}=A_{1}B_{1}
. Следовательно, треугольник ABC
равен треугольнику A_{1}B_{1}C_{1}
по катету и гипотенузе.
Примечание. Изложенное решение не использует аксиому параллельных, а значит, и теорему о сумме углов треугольника.