11323. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
внешним образом построены параллелограммы; P
— точка пересечения продолжений их сторон, параллельных AB
и BC
. На стороне AC
построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и параллельна BP
. Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух параллелограммов.
Решение. Построим параллелограммы ABPQ
и CBPR
. Они равновелики исходным параллелограммам со сторонами AB
и BC
соответственно. При этом AQ=BP=CR
и AQ\parallel PB\parallel CR
, поэтому AQRC
— параллелограмм. Он равен третьему из указанных в условии параллелограммов, так как получается из него параллельным переносом на вектор \overrightarrow{BP}
. Осталось заметить, что площадь параллелограмма AQRC
равна сумме площадей параллелограммов ABPQ
и CBPR
, так как сумма высот параллелограммов ABPQ
и CBPR
, опущенных на их общую сторону BP
, равна высоте параллелограмма AQRC
, опущенной на сторону AQ
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 4.27, с. 86
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 4.27, с. 84
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 337, с. 39