11323. На сторонах AB
и BC
треугольника ABC
внешним образом построены параллелограммы; P
— точка пересечения продолжений их сторон, параллельных AB
и BC
. На стороне AC
построен параллелограмм, вторая сторона которого равна и параллельна BP
. Докажите, что его площадь равна сумме площадей первых двух параллелограммов.
Решение. Построим параллелограммы ABPQ
и CBPR
. Они равновелики исходным параллелограммам со сторонами AB
и BC
соответственно. При этом AQ=BP=CR
и AQ\parallel PB\parallel CR
, поэтому AQRC
— параллелограмм. Он равен третьему из указанных в условии параллелограммов, так как получается из него параллельным переносом на вектор \overrightarrow{BP}
. Осталось заметить, что площадь параллелограмма AQRC
равна сумме площадей параллелограммов ABPQ
и CBPR
, так как сумма высот параллелограммов ABPQ
и CBPR
, опущенных на их общую сторону BP
, равна высоте параллелограмма AQRC
, опущенной на сторону AQ
.