11326. Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый многоугольник?
Ответ. Три.
Решение. Пусть выпуклый n
-угольник имеет k
острых углов. Тогда сумма его углов меньше
k\cdot90^{\circ}+(n-k)\cdot180^{\circ}.
С другой стороны, сумма углов n
-угольника равна 180^{\circ}\cdot(n-2)
, поэтому
180^{\circ}\cdot(n-2)\lt k\cdot90^{\circ}+(n-k)\cdot180^{\circ},
т. е. k\lt4
.
Для любого n\geqslant3
существует выпуклый n
-угольник с тремя острыми углами. Действительно, возьмём сектор окружности с острым углом AOB
и разделим его дугу AB
на n-2
равные части последовательными точками A_{1}
, A_{2}
, …, A_{n-3}
(n\gt3
). Тогда у выпуклого n
-угольника OAA_{1}\dots A_{n-3}B
острые углы при вершинах O
, A
и B
. Для n=3
возьмём любой остроугольный треугольник.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 6.87, с. 160
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 9.92, с. 161