11329. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
внешним образом построен квадрат ABPQ
. Пусть \angle ACQ=\alpha
, \angle PCQ=\beta
, \angle PCB=\gamma
. Докажите, что \cos\beta=\cos\alpha\cos\gamma
.
Решение. Пусть сторона квадрата равна a
, а угол при вершине A
треугольника ABC
равен \varphi
. Тогда
AC=AB\cos\varphi=a\cos\varphi,~\angle AQC=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}+\varphi)=90^{\circ}-(\alpha+\varphi).
Применяя теорему синусов к треугольнику ACQ
, получаем, что
\frac{AQ}{\sin\alpha}=\frac{AC}{\sin(90^{\circ}-(\alpha+\varphi))},~\mbox{или}~\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{a\cos\varphi}{\cos(\alpha+\varphi)},
откуда
\sin\alpha\cos\varphi=\cos(\alpha+\varphi)~\Rightarrow~\sin\alpha\cos\varphi=\cos\alpha\cos\varphi-\sin\alpha\sin\varphi~\Rightarrow
\Rightarrow~1=\ctg\alpha-\tg\varphi~\Rightarrow~\ctg\alpha=1+\tg\varphi
Аналогично получим, что
\ctg\gamma=1+\tg(90^{\circ}-\varphi)=1+\ctg\varphi.
Тогда
\tg\alpha+\tg\gamma=\frac{1}{1+\tg\varphi}+\frac{1}{1+\ctg\varphi}=\frac{2+\tg\varphi+\ctg\varphi}{2+\tg\varphi+\ctg\varphi}=1~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{\sin(\alpha+\gamma)}{\cos\alpha\cos\gamma}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\gamma}{\cos\gamma}=\tg\alpha+\tg\gamma=1~\Rightarrow~\sin(\alpha+\gamma)=\cos\alpha\cos\gamma~\Rightarrow
\Rightarrow~\cos\beta=\cos(90^{\circ}-(\alpha+\gamma))=\sin(\alpha+\gamma)=\cos\alpha\cos\gamma.
Что и требовалось доказать.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 5.22, с. 107
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.27, с. 104