11338. Дана полуокружность с центром O
. Из каждой точки X
, лежащей на продолжении диаметра полуокружности, проводится касающийся полуокружности луч и на нём откладывается отрезок XM
, равный отрезку XO
. Найдите геометрическое место точек M
, полученных таким образом.
Ответ. Отрезок без концов и без середины.
Решение. Пусть YZ
— диаметр данной полуокружности радиуса R
, K
— точка касания с полуокружностью прямой XM
, P
— проекция точки M
на прямую YZ
. Предположим, что точка X
лежит на продолжении диаметра YZ
за точку Z
.
Треугольник OXM
равнобедренный с основанием OM
, поэтому его высоты MP
и OK
равны, т. е. MP=OK=R
. Значит, точка M
лежит на прямой, параллельной YZ
и удалённой от неё на расстояние, равное радиусу R
полуокружности, т. е. на параллельной диаметру YZ
касательной к полуокружности.
Пусть A
и B
— проекции точек соответственно Z
и Y
на эту касательную, N
— точка касания прямой AB
полуокружностью. Тогда через любую точку M
отрезка AN
, кроме точек A
и N
, можно провести касательную к полуокружности. Эта касательная пересекает луч OZ
в точке X
, и при этом XM=XO
.
Если же точка X
лежит на продолжении диаметра XY
за точку Y
, то проведём аналогичные рассуждения для любой точка отрезка BN
, отличной от B
и N
.
Таким образом, искомое ГМТ — отрезок AB
без концов A
, B
и середины N
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 7.24, с. 186
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 7.23, с. 187