11339. Пусть AC
— большая из диагоналей параллелограмма ABCD
. Из точки C
на продолжения сторон AB
и AD
опущены перпендикуляры CE
и CF
соответственно. Докажите, что AB\cdot AE+AD\cdot AF=AC^{2}
.
Решение. Опустим перпендикуляр BG
на диагональ AC
. Прямоугольные треугольники ACE
и ABG
подобны, поэтому \frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AG}
, или AC\cdot AG=AB\cdot AE
.
Прямоугольные треугольники BCG
и CAF
также подобны, поэтому \frac{CG}{AF}=\frac{BC}{AC}
, или AC\cdot CG=BC\cdot AF=AD\cdot AF
. Следовательно,
AC^{2}=AC\cdot AC=AC(AG+CG)=AC\cdot AG+AC\cdot CG=AB\cdot AE+AD\cdot AF.