11339. Пусть AC
— большая из диагоналей параллелограмма ABCD
. Из точки C
на продолжения сторон AB
и AD
опущены перпендикуляры CE
и CF
соответственно. Докажите, что AB\cdot AE+AD\cdot AF=AC^{2}
.
Решение. Опустим перпендикуляр BG
на диагональ AC
. Прямоугольные треугольники ACE
и ABG
подобны, поэтому \frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AG}
, или AC\cdot AG=AB\cdot AE
.
Прямоугольные треугольники BCG
и CAF
также подобны, поэтому \frac{CG}{AF}=\frac{BC}{AC}
, или AC\cdot CG=BC\cdot AF=AD\cdot AF
. Следовательно,
AC^{2}=AC\cdot AC=AC(AG+CG)=AC\cdot AG+AC\cdot CG=AB\cdot AE+AD\cdot AF.
Источник: Кюршак Й. и др. Венгерские математические олимпиады. — М.: Мир, 1976. — № 73, с. 21
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 1918, задача 1
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.24, с. 14
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 1.22, с. 12