11350. Докажите, что если углы выпуклого пятиугольника образуют арифметическую прогрессию, то каждый из них больше 36^{\circ}
.
Решение. Пусть углы пятиугольника равны \alpha
, \alpha+\gamma
, \alpha+2\gamma
, \alpha+3\gamma
и \alpha+4\gamma
, \alpha\gt0^{\circ}
, \gamma\geqslant0^{\circ}
. По формуле для суммы углов пятиугольника
5\alpha+10\gamma=180^{\circ}(5-2)=540^{\circ}.
Поскольку пятиугольник выпуклый, каждый его угол меньше 180^{\circ}
, значит,
\alpha+4\gamma\lt180^{\circ}~\Rightarrow~\frac{5}{2}\alpha+\frac{5}{2}\cdot4\gamma\lt\frac{5}{2}\cdot180^{\circ}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~\frac{5}{2}\alpha+10\gamma\lt450^{\circ}~\Rightarrow~-\frac{5}{2}\alpha-10\gamma\gt-450^{\circ}.
Складывая последнее неравенство с равенством 5\alpha+10\gamma=540^{\circ}
, получим, что \frac{5}{2}\alpha\gt90^{\circ}
. Следовательно, \alpha\gt36^{\circ}
, а так как \alpha
— наименьший угол пятиугольника, то остальные его углы также больше 36^{\circ}
.