11351. На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности.
Ответ. Треугольник должен быть либо равносторонним, либо равнобедренным прямоугольным.
Решение. Пусть на сторонах AB=c
, BC=a
и AC=b
внешним образом построены квадраты ABB_{1}A_{1}
, BCC_{2}B_{2}
и ACC_{3}A_{3}
соответственно. Обозначим \angle BAC=\alpha
, \angle ABC=\beta
, и \angle ACB=\gamma
, R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
.
Предположим, что точки A_{1}
, B_{1}
, B_{2}
, C_{2}
, C_{3}
, A_{3}
лежат на одной окружности S
. Серединные перпендикуляры к сторонам A_{1}B_{1}
, B_{2}C_{2}
и A_{3}C_{3}
квадратов совпадают с серединными перпендикулярами к сторонам AB
, BC
и AC
треугольника, поэтому центр окружности S
совпадает с центром O
описанной окружности треугольника ABC
.
Пусть M
— середина стороны BC
, N
— середина B_{2}C_{2}
. Тогда
OM=OB\cos\angle BOM=R\cos\alpha.
По теореме синусов BC=2R\sin\alpha
, поэтому
B_{2}N=\frac{1}{2}BC=R\sin\alpha,~ON=OM+MN=OM+BC=R\cos\alpha+2R\sin\alpha.
Значит,
OB_{2}^{2}=ON^{2}+B_{2}N^{2}=(R\cos\alpha+2R\sin\alpha)^{2}+(R\sin\alpha)^{2}=
=R^{2}(\cos^{2}\alpha+4\sin\alpha\cos\alpha+4\sin^{2}\alpha+\sin^{2}\alpha)=
=R^{2}(3\sin^{2}\alpha+3\cos^{2}\alpha+2\sin2\alpha-2\cos^{2}\alpha+2\sin^{2}\alpha)=
=R^{2}(3+2(\sin2\alpha-\cos2\alpha))=R^{2}(3-2\sqrt{2}\cos(45^{\circ}+2\alpha)).
Аналогично выражаются OC_{3}^{2}
и OA_{1}^{2}
.
Для того, чтобы треугольник обладал требуемым свойством, необходимо и достаточно, чтобы
OB_{2}^{2}=OC_{3}^{2}=OA_{1}^{2},~\mbox{т. е.}~\cos(45^{\circ}+2\alpha)=\cos(45^{\circ}+2\beta)=\cos(45^{\circ}+2\gamma).
Очевидно, что при \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}
это свойство выполняется. Пусть \alpha\ne\beta
. Тогда из равенства \cos(45^{\circ}+2\alpha)=\cos(45^{\circ}+2\beta)
следует, что
45^{\circ}+2\alpha=360^{\circ}-(45^{\circ}+2\beta),~\mbox{или}~\alpha+\beta=135^{\circ}.
Тогда
\gamma=45^{\circ},~\alpha=\gamma=45^{\circ},~\beta=90^{\circ}.
Таким образом, треугольник должен быть либо равносторонним, либо равнобедренным прямоугольным.