11353. На продолжениях оснований AD
и BC
трапеции ABCD
за точки A
и C
взяты точки K
и L
соответственно. Отрезок KL
пересекает стороны AB
и CD
в точках M
и N
соответственно, а диагонали AC
и BD
— в точках O
и P
соответственно. Докажите, что если KM=NL
, то KO=PL
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку M
параллельно CD
, пересекает прямые BC
и AD
в точках E
и F
соответственно. Тогда CEFD
— параллелограмм, поэтому CE=DF
. Из подобия треугольников AOK
и COL
, равенства треугольников KMF
и LNC
, подобия треугольников AMK
и BML
, а также подобия треугольников KMF
и LME
получаем, что
\frac{OK}{OL}=\frac{KA}{CL}=\frac{KA}{KF}=\frac{BL}{EL}.
Кроме того,
KD=KF+FD=CL+CE=EL.
значит,
\frac{PL}{PK}=\frac{BL}{KD}=\frac{BL}{EL}=\frac{OK}{OL}.
Обозначим KO=a
, OP=b
, PL=c
. Тогда равенство \frac{PL}{PK}=\frac{OK}{OL}
означает, что
\frac{c}{a+b}=\frac{a}{b+c}~\Rightarrow~bc+c^{2}=a^{2}+ab\Rightarrow~(a-c)(a+b+c)=0,
а так как a+b+c\ne0
, то a=c
, т. е. KO=PL
. Что и требовалось доказать.