11364. Дан прямоугольный треугольник ABC
. На гипотенузе AB
взяты точки K
, D
и M
, причём CD
— высота треугольника ABC
, а CK
и CM
— биссектрисы углов ACD
и BCD
соответственно. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника KCM
совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC
.
Решение. Обозначим
\angle BCD=\angle BAC=\alpha,~\angle ACD=\angle CBD=\beta.
Тогда
\angle AMC=\angle ABC+\angle BCM=\beta+\frac{\alpha}{2},~\angle ACM=\angle ACD+\angle DCM=\beta+\frac{\alpha}{2}.
Треугольник CAM
равнобедренный, поэтому его биссектриса, проведённая из вершины A
, лежит на серединном перпендикуляре к стороне CM
треугольника KCM
. Аналогично, биссектриса угла B
лежит на серединном перпендикуляре к стороне CK
этого треугольника. Следовательно, точка пересечения этих биссектрис, т. е. центр вписанной окружности треугольника ABC
, совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника CKM
, т. е. с центром его описанной окружности.