11369. В треугольнике ABC
на сторонах AB
и BC
взяты такие точки K
и L
соответственно, что AK=KL=LC
. Через точку пересечения прямых AL
и CK
проведена прямая, параллельная биссектрисе угла B
, пересекающая прямую AB
в точке M
. Докажите, что AM=BC
.
Решение. Обозначим
\angle KAL=\angle KLA=\varphi,~\angle CKL=\angle KCL=\psi,~\angle ABC=\beta.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle BKL=2\varphi,~\angle BLK=2\psi.
Тогда
\beta=180^{\circ}-2\varphi-2\psi~\Rightarrow~\varphi+\psi=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Пусть Q
— точка пересечения отрезков AL
и CK
. Тогда
\angle AQC=\angle KQL=180^{\circ}-(\varphi+\psi)=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}.
Через точку M
проведём прямую, параллельную стороне BC
. Пусть эта прямая пересекается с прямой CK
в точке N
. Луч MQ
— биссектриса угла AMN
, и при этом
\angle AQN=\angle AQC=90^{\circ}+\frac{\beta}{2},
Значит, Q
— точка пересечения биссектрис треугольника AMN
(см. задачу 4770), а
\angle MAN=2\angle MAQ=2\varphi=\angle BKL.
Кроме того, из параллельности BC
и MN
получаем, что \angle BKL=\angle MAN
, следовательно, треугольник AMN
подобен треугольнику KBL
по двум углам, а так как MN\parallel KC
, то треугольник KMN
подобен треугольнику KBC
по двум углам.
Обозначим
BC=a,~AB=c,~AK=KL=LC=x,~AM=y,~MN=z.
Тогда из доказанного подобия получаем равенства
\frac{MN}{BL}=\frac{AM}{BK}~\mbox{и}~\frac{MN}{BL}=\frac{MK}{BK},
или
\frac{z}{a-x}=\frac{y}{c-x}~\mbox{и}~\frac{z}{a}=\frac{y-x}{c-x},
т. е.
cz-xz=ay-xy~\mbox{и}~cz-xz=ay-ax,
откуда y=a
, т. е. AM=BC
.