11371. Дан четырёхугольник ABCD
. На прямых AC
и BD
взяты соответственно такие точки K
и M
, что BK\parallel AD
и AM\parallel BC
. Докажите, что KM\parallel CD
.
Решение. Пусть O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника ABCD
. Треугольник BOK
подобен треугольнику DOA
, а треугольник BOC
— треугольнику MOA
, поэтому
\frac{OK}{OB}=\frac{OA}{OD}~\mbox{и}~\frac{OB}{OC}=\frac{OM}{OA}.
Перемножив эти равенства, получим, что
\frac{OK}{OC}=\frac{OK\cdot OB}{OB\cdot OC}=\frac{OA\cdot OM}{OD\cdot OA}=\frac{OM}{OD}.
Следовательно, KM\parallel CD
.