11372. Пусть E
— произвольная точка на стороне AC
треугольника ABC
. Через вершину B
проведём произвольную прямую l
. Две прямые, проходящие через точку E
параллельно AB
и параллельно BC
, пересекают прямую l
в точках M
и N
соответственно. Докажите, что CM\parallel AN
.
Решение. Пусть D
— точка пересечения BC
и EM
, а F
— точка пересечения AB
и EN
. Тогда BDEF
— параллелограмм, треугольник BFN
подобен треугольнику MDB
, а треугольник AFE
— треугольнику EDC
, поэтому
\frac{NF}{FB}=\frac{BD}{DM}~\mbox{и}~\frac{FB}{FA}=\frac{DE}{FA}=\frac{DC}{FE}=\frac{DC}{BD}.
Тогда
\frac{NF}{FA}=\frac{NF}{FB}\cdot\frac{FB}{FA}=\frac{BD}{DM}\cdot\frac{DC}{BD}=\frac{DC}{DM}.
Значит, треугольники AFN
и MDC
подобны по двум сторонам и углу между ними, поэтому
\angle ANF=\angle MCD,~\angle ANB=\angle ANE+\angle ENB=
=\angle MCB+\angle MBC=180^{\circ}-\angle BMC.
Следовательно, CM\parallel AN
.