11375. В треугольнике ABC
угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины A
, равен \alpha
, а угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины B
, равен \beta
. Найдите угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины C
.
Ответ. \arctg|\tg\alpha\pm\tg\beta|
.
Указание. Докажите формулу
\tg\alpha=\frac{|b^{2}-c^{2}|}{4S},
где S
— площадь треугольника, b=AC
и c=AB
.
Решение. Пусть AH=h
— высота, AM
— медиана треугольника ABC
. Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
, CH=x
, S
— площадь треугольника. Рассмотрим случай, когда a\gt b\gt c
. Тогда
x=CH=CM+MH=\frac{a}{2}+h\tg\alpha.
С другой стороны
AH^{2}=AB^{2}-BH^{2}=AC^{2}-CH^{2},~\mbox{или}~c^{2}-(a-x^{2})=b^{2}-x^{2},
откуда
x=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a}.
Значит,
\frac{a}{2}+h\tg\alpha=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a},
откуда находим, что
\tg\alpha=\frac{b^{2}-c^{2}}{2ah}=\frac{b^{2}-c^{2}}{4S}.
Аналогично,
\tg\beta=\frac{a^{2}-c^{2}}{4S},~\tg\gamma=\frac{a^{2}-b^{2}}{4S},
где \gamma
—угол между медианой и высотой, проведёнными из вершины C
, а так как
\tg\alpha+\tg\gamma=\frac{b^{2}-c^{2}}{4S}+\frac{a^{2}-b^{2}}{4S}=\frac{a^{2}-c^{2}}{4S}=\tg\beta,
то
\tg\gamma=\tg\beta-\tg\alpha~\Rightarrow~\gamma=\arctg(\tg\beta-\tg\alpha).
В общем случае
\gamma=\arctg|\tg\beta\pm\tg\alpha|.