11382. Найдите площадь треугольника, вписанного в параллелограмм, если известно, что оставшаяся часть параллелограмма представляет собой три треугольника единичной площади.
Ответ. \sqrt{5}
.
Решение. Пусть вершины K
и M
треугольника AKM
лежат на сторонах соответственно BC
и CD
параллелограмма ABCD
. Обозначим BC=AD=a
, BK=xa
, CH=h
— высота параллелограмма, опущенная на сторону AD
, yh
— расстояние от точки M
до прямой BC
, 0\lt x\lt1
, 0\lt y\lt1
. Тогда высоты треугольников ABK
, CMK
и AMD
, проведённые из вершин A
и M
, равны h
, yh
и (1-y)h
соответственно. Значит,
S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}xa\cdot h,~S_{\triangle CMK}=\frac{1}{2}(1-x)a\cdot yh,~S_{\triangle AMD}=\frac{1}{2}a\cdot(1-y)h.
Из условия задачи следует, что
xa\cdot h=(1-x)a\cdot yh~\mbox{и}~xa\cdot h=a\cdot(1-y)h,
или
x=(1-x)y~\mbox{и}~x=1-y.
Учитывая, что x\lt1
, из этой системы находим, что x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}
. Тогда
S_{\triangle ABK}=\frac{1}{2}xa\cdot h=1~\Rightarrow~S_{ABCD}=ah=\frac{2}{x}=\frac{2}{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\frac{4}{3-\sqrt{5}}=3+\sqrt{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ABK}=S_{ABCD}-S_{\triangle ABK}-S_{\triangle CMK}-S_{\triangle AMD}=(3+\sqrt{5})-3=\sqrt{5}.