11383. В треугольнике ABC
известно, что \angle B=100^{\circ}
, \angle C=65^{\circ}
; на стороне AB
взята такая точка M
, что \angle MCB=55^{\circ}
, а на стороне AC
— такая точка N
, что \angle NBC=80^{\circ}
. Найдите \angle NMC
.
Ответ. 25^{\circ}
.
Решение. Опишем окружность около треугольника BCM
. Пусть луч BN
пересекает её в точке M_{1}
. Градусная мера дуги CM_{1}
, не содержащей точки B
, вдвое больше градусной меры вписанного угла CBM_{1}
, т. е. равна 160^{\circ}
. Аналогично, градусная мера дуги CM_{1}M
равна 200^{\circ}
, поэтому градусная мера дуги CBM
равна 360^{\circ}-200^{\circ}=160^{\circ}
. Таким образом, хорды CM_{1}
и CM
стягивают равные дуги, значит, CM_{1}=CM
.
Вписанные углы MCM_{1}
и MBM_{1}
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MCM_{1}=\angle MBM_{1}=\angle MBN=100^{\circ}-80^{\circ}=20^{\circ},
а так как
\angle MCN=65^{\circ}-55^{\circ}=10^{\circ},
то
\angle NCM_{1}=\angle MCM_{1}-\angle MCN=20^{\circ}-10^{\circ}=10^{\circ}.
Значит, треугольники NCM_{1}
и NCM
равны по двум сторонам и углу между ними. Кроме того,
\angle BCM_{1}=\angle BCN+\angle NCM_{1}=65^{\circ}+10^{\circ}=75^{\circ}.
Следовательно,
\angle NMC=NM_{1}C=\angle BM_{1}C=180^{\circ}-80^{\circ}-75^{\circ}=25^{\circ}.