11388. Дан квадрат ABCD
, M
— середина CD
. На отрезке AC
взята такая точка P
, что \angle ABP=\angle CPM=\alpha
. Найдите величину \alpha
и отношение, в котором точка P
делит отрезок AC
.
Ответ. 45^{\circ}
, 1:1
.
Решение. Обозначим AB=a
, AP=x
. Поскольку
\angle PCM=\angle DAP=45^{\circ}~\mbox{и}\angle ABP=\angle CPM,
треугольники ABP
и CPM
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AP}{CM}=\frac{AB}{CP},~\mbox{или}~\frac{x}{\frac{a}{2}}=\frac{a}{a\sqrt{2}-x},
откуда
AP=x=\frac{a}{\sqrt{2}},~CP=a\sqrt{2}-x=a\sqrt{2}-\frac{a}{\sqrt{2}}=\frac{a}{\sqrt{2}}.
Следовательно, AP:PC=1:1
.
Поскольку P
— середина AC
, треугольник PMC
равнобедренный и прямоугольный. Следовательно, \alpha=45^{\circ}
.
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 680, с. 86