11404. Длины сторон некоторого треугольника удовлетворяют соотношению
2(a^{8}+b^{8}+c^{8})=(a^{4}+b^{4}+c^{4})^{2}.
Докажите, что треугольник прямоугольный.
Указание. Разложите на множители разность левой и правой части и примените теорему, обратную теореме Пифагора.
Решение. 2(a^{8}+b^{8}+c^{8})=(a^{4}+b^{4}+c^{4})^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2a^{8}+2b^{8}+2c^{8}-a^{8}-b^{8}-c^{8}-2a^{4}b^{4}-2a^{4}c^{4}-2b^{2}c^{2}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~a^{8}+b^{8}+c^{8}+2a^{4}b^{4}-2a^{4}c^{4}-2b^{4}c^{4}-4a^{4}b^{4}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a^{4}+b^{4}-c^{4})^{2}-(2a^{2}b^{2})^{2}=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a^{4}+b^{4}-c^{4}-2a^{2}b^{2})(a^{4}+b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2})=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~((a^{2}-b^{2})^{2}-c^{4})((a^{2}+b^{2})^{2}-c^{4})=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a^{2}-b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}+b^{2}+c^{2})=0.
Последняя скобка отлична от нуля, а равенство нулю любой из оставшихся означает, что треугольник прямоугольный.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 1999, № 169, с. 63, 9 класс, задача 4