11408. Точка, симметричная центру вписанной в треугольник окружности относительно одной из его сторон, лежит на описанной около этого треугольника окружности S
. Докажите, что точка, симметричная центру окружности S
относительно некоторой стороны треугольника, также лежит на окружности S
.
Решение. Пусть I
и O
— центры соответственно вписанной и описанной окружностей треугольника ABC
, P
и Q
— точки, симметричные точкам соответственно I
и O
относительно прямой AC
. Докажем, что точка Q
лежит на окружности S
.
Обозначим \angle ABC=\beta
. Лучи AI
и CI
— биссектрисы углов A
и C
треугольника ABC
, поэтому \angle AIC=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}
(см. задачу 4770). Точка P
лежит на окружности S
, поэтому четырёхугольник ABCP
вписанный, значит, \angle APC=180^{\circ}-\beta
. Из симметрии \angle APC=\angle AIC
, поэтому
180^{\circ}-\beta=90^{\circ}+\frac{\beta}{2},
откуда \beta=60^{\circ}
.
Центральный угол AOC
вдвое больше вписанного угла ABC
, т. е. \angle AOC=120^{\circ}
. Тогда из симметрии
\angle AQC=\angle AOC=120^{\circ}=180^{\circ}-\angle ABC.
Значит, четырёхугольник ABCQ
вписанный. Следовательно, точка Q
лежит на окружности S
. Что и требовалось доказать.