11412. В остроугольном треугольнике h
— длина высоты, проведённой к стороне, равной c
; a
и b
длины двух других сторон. Докажите, что если c\lt h\sqrt{2}
, то c^{2}+h^{2}\lt a^{2}+b^{2}
.
Решение. Пусть ABC
— остроугольный треугольник, в котором BC=a
, AC=b
, AB=c
, а высота CH=h
. Поскольку треугольник остроугольный, точка H
лежит внутри стороны AB
, поэтому x+y=c
.
Обозначим, BC=x
, AC=y
. Тогда
a^{2}=x^{2}+h^{2},~b^{2}=y^{2}+h^{2},
поэтому
c^{2}+h^{2}\lt a^{2}+b^{2}~\Leftrightarrow~(x+y)^{2}+h^{2}\lt x^{2}+h^{2}+y^{2}+h^{2}~\Leftrightarrow~2xy\lt h^{2}.
В то же время, для любых x
и y
2xy\leqslant\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^{2}~\Leftrightarrow~4xy\leqslant(x+y)^{2}~\Leftrightarrow~0\leqslant(x-y)^{2},
а так как \frac{c}{\sqrt{2}}\lt h
, то
2xy\leqslant\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\left(\frac{c}{\sqrt{2}}\right)^{2}\lt h^{2}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Агаханов Н. Х., Подлипский О. К. Математика. Районные олимпиады. — М.: Просвещение, 2010. — 2002, № 261, с. 73, 10 класс, задача 1